فصل اول ریاضی سال نهم

چنانچه از مطالب سایت راضی هستید جهت حمایت از ما بنر زیر را باز کنید.

ریاضی نهم فصل اول-درس اول: معرفی مجموعه ها

تعریف مجموعه

مجموعه: دسته ای از اشیای مشخص و متمایز(متفاوت) است.

منظور از مشخص بودن این هست که وقتی تعریف مجموعه را به افراد مختلف دادیم تمامی افراد به یک مجموعه یکسان برسند ، نتایج افراد مختلف با هم متفاوت نباشد.

منظور از متمایز بودن هم، این است که هر دوعضو باهم متفاوت باشند ، برای مثال دو عدد 1 نداشته باشیم.

مثال

مثال در مورد مشخص بودن : آیا عبارت  ( 2 عدد زوج مثبت و کوچکتر از 10) تعریف یک مجموعه است؟

خب فرض کنید این عبارت به دونفر به اسم های رضا و حامد داده شود. با توجه به اینکه اعداد زوج کوچکتر از 10 ، اعداد 2و4و6و8 هستند ، در نتیجه افراد مختلف می توانند 2 عدد زوج متفاوت انتخاب کنند ، برای مثال رضا ممکن است اعداد 2و4 را به عنوان جواب پاسخ دهد، ولی حامد اعداد 6و8 را، پس عبارت (2 عدد زوج مثبت و کوچکتر از 10) نمی تواند تعریف مجموعه باشد. تعریف مجموعه باید طوری باشد که تمامی افراد به نتیجه یکسان برسند.

ریاضی

نمایش مجموعه با عضو ها:

برای اینکه یک مجموعه را نمایش دهیم چند روش وجود دارد یکی از روش ها استفاده از عضو های مجموعه است. در این روش دوتا { } رسم می کنیم و داخل آکلاد ها عضو های مجموعه را قرار می دهیم و مجموعه را با یک حرف بزرگ انگلیسی نام گذاری می کنیم. برای مثال فرض کنید عضو های مجموعه ما اعداد 1و2و3 هستند. دوتا آکلاد رسم می کنیم، عضو ها را داخل آکلاد قرار می دهیم و مجموعه را با حرف A نام گذاری می کنیم.

{A={1,2,3 

تذکر :تکرار عضو ها و یا جابجایی آنها در مجموعه باعث ایجاد مجموعه جدید نمی شود.

برای مثال مجموعه A  را که قبلا نمایش دادیم را در نظر بگیرید.

{A={1,2,3

اگر ما عضو هارا تکرار کنیم ، یا جای آنها را تغییر دهیم مجموعه جدیدی ایجاد نمی شود. و هر سه مجموعه یکی هستند.

دقت کنید که در مجموعه ما باید عضو های تکراری را حذف کنیم.پس وقتی دو تا عدد 2 داریم باید فقط یکی از آنهارا بنویسیم.

پس مجموعه ای که با رنگ قرمز مشخص شده باید اصلاح شود و عضو های تکراری آن حذف شود.

دوتا مجموعه دیگر که با رنگ سیاه نوشته شده اند، هر دو درست هستند،و هر دو مجموعه یکی هستند،جابجایی عضو ها برای ما اهمیتی ندارد.

{A={1,2,2,3,3,3}     A={3,2,1

نمودار ون :

یکی دیگر از روش های نمایش مجموعه ها استفاده از نمودار ون است.

در این روش یک خط شکسته بسته و یا یک منحنی بسته رسم می کنیم.

عضو های مجموعه را داخل منحنی یا خط شکسته قرار می دهیم.

و در آخر مجموعه را با یک حرف بزرگ انگلیسی نام گذاری می کنیم.

برای مثال فرض کنید عضو های مجموعه ما اعداد 1و3و4 باشند. و از حرف B برای نام گذای مجموعه استفاده کنیم.

نمایش مجموعه ما با استفاده از نمودار ون به این صورت خواهد بود.

ریاضی نهم فصل اول_نمودار ون

عضویت و عدم عضویت:

برای اینکه به زبان ریاضی نمایش بدیم یک عضو داخل مجموعه ما قرار دارد از علامت  استفاده می کنیم و برای اینکه نمایش بدیم یک عضو داخل مجموعه ما قرار نمی گیرد از علامت زیر استفاده می کنیم.

برای مثال مجموعه A  را با عضو های 2و1و9 در نظر بگیرید. نمایش مجموعه با استفاده از عضو ها به شکل زیر خواهد بود، حال فرض کنید بخواهیم به زبان ریاضی بنویسیم که عدد 1 داخل مجموعه A  قرار دارد، یا بخواهیم برای مثال به زبان ریاضی نمایش دهیم که عدد 5 عضو مجموعه نیست. (داخل این مجموعه وجود ندارد)

{1,9,2} = A

5

 1 A

عبارت اول: می خوانیم 1 عضو مجموعه A  است.

عبارت دوم: می خوانیم 5 عضو مجموعه A نیست.

مجموعه تهی:

مجموعه تهی یک مجموعه است که، هیچ عضوی نداشته باشد.

برای مثال عبارت اعداد مثبت و کوچکتر از صفر یک مجموعه تهی را تعریف می کند، چرا؟ به این دلیل که اعداد کوچکتر از صفر هیچ وقت مثبت نمی شوند، در نتیجه مجموعه جواب ما،بدون عضو یا تهی خواهد شد.

برای نمایش مجموعه تهی می توانیم از نماد مجموعه تهی ( Ø ) یا از دو آکلاد که داخل آن هیچ عضوی نباشد( { } ) استفاده کنیم.

دقت کنید که نماد تهی داخل آکلاد نیست، و اگر از روش { } آکلاد استفاده کردیم، نباید داخل آکلاد ما هیچ عضوی بیاید حتی نماد تهی. یعنی به این صورت { Ø }،

این مجموعه در واقع یک عضو دارد، عضو آن نماد تهی است.

مجموعه یک عضوی (تک عضوی):

مجموعه یک عضوی مجموعه ای است که فقط یک عضو دارد. برای مثال مجموعه A  فقط عضو 4 را دارد. و یک مجموعه تک عضوی یا یک عضوی است.

A= { 4 }

 

ریاضی نهم فصل اول _ درس دوم: مجموعه های برابر و نمایش مجموعه ها

تساوی دو مجموعه :

وقتی می توانیم بگوییم مجموعه A  با مجموعه B  برابر است که هر عضوی که داخل مجموعه A انتخاب کردیم، اون عضو داخل مجموعه B هم وجود داشته باشد. و برعکس هر عضوی که داخل مجموعه B انتخاب کردیم، داخل مجموعه A هم وجود داشته باشد.

اگر فقط یک عضو در مجموعه A  پیدا کنیم، که در مجموعه B  نباشد می گوییم دو مجموعه با هم برابر نیستند.

( اگر عضوی در مجموعه B هم پیدا کردیم که در مجموعه A  نبود باز هم دو مجموعه با هم برابر نیستند)

مفهوم تساوی دو مجموعه، این است که تمامی عضوها در دومجموعه یکی باشند.

نکته:برای اثبات تساوی باید تمامی عضو های هر دو مجموعه بررسی شوند. اما برای اینکه بگوییم دو مجموعه مساوی نیستند،فقط کافی است یک عضو پیدا کنیم،که فقط در یکی از دو مجموعه وجود داشته باشد.

برای نمایش تساوی از علامت = استفاده می کنیم و برای نمایش نامساوی بودن از علامت  استفاده می شود.

برای مساوی بودن و نا مساوی بودن دو مجموعه مثال زیر را داریم:

در نمودارهای سمت راست اگر دقت کنید، تمام عضو های هر دو مجموعه یکی هستند، پس می توان گفت هر دو مجموعه باهم مساوی هستند.

اما در دو نمودار سمت چپ این شرایط برقرار نیست، مجموعه B علاوه بر عضو های مجموعه A دارای یک عضو دیگر (عدد 5) نیز می باشد.

در نتیجه دو مجموعه باهم برابر نیستند.

ریاضی نهم فصل اول، تساوی دو مجموعه ، نابرابری دو مجموعه

زیر مجموعه:

اگر هر عضوی از مجموعه ی A را، بتوانیم در مجموعه ی B پیدا کنیم، می گوییم مجموعه ی A زیر مجموعه B است.

اگر دقت کنید تعریف زیر مجموعه کمی شبیه تساوی است.

اما در زیر مجموعه بودن لازم نیست که تمام عضو های مجموعه B داخل A  وجود داشته باشند.

در واقع رابطه یک طرفه است.

برای اینکه بگوییم مجموعه A زیر مجموعه B نیست کافی است، تنها یک عضو پیدا کنیم که در مجموعه A وجود داشته باشد، اما در مجموعه B  نباشد.

در ادامه نمایش نموداری زیر مجموعه بودن و زیر مجموعه نبودن را داریم.

  برای نمایش زیر مجموعه بودن از علامت

و برای نمایش زیر مجموعه نبودن ،از علامت  استفاده می کنیم.

ریاضی نهم فصل اول_زیر مجموعه ها

نمایش مجموعه با نماد ریاضی:

یکی دیگر از روش های نمایش مجموعه ها استفاده از نماد های ریاضی است.

در این روش مجموعه را با استفاده از یک رابطه ریاضی معرفی می کنیم.

برای مثال: کتاب اعداد طبیعی زوج را به شکل زیر تعریف می کند.

{E = {2k | k∈ N

اعداد طبیعی زوج با E  نمایش داده می شوند، 2k جمله ای است که عضو های مجموعه مورد نظر ما را قرار است تولید کند، خط عمودی که قرمز شده،

معنی بطوریکه می دهد، این خط نشان می دهد که برای جمله 2k شرط وجود دارد، در اینجا شرط ما این است که k یک عضو از مجموعه اعداد طبیعی باشد.

خب پس این رابطه در واقع هر عضو از مجموعه اعداد طبیعی را می گیرد، در 2 ضرب می کند و عدد تولید شده را داخل مجموعه E  قرار می دهد.

پس تمامی اعداد زوج تولید می شوند.

رابطه بین مجموعه ها: اعداد طبیعی،اعداد حسابی،اعداد صحیح و اعدادگویا

در ادامه مجموعه های گفته شده را مشاهده می فرمایید، اگر دقت کنیم، مجموعه اعداد حسابی،  شامل اعداد طبیعی است و فقط عدد صفر را اضافه دارد.

طبق تعریف زیر مجموعه بودن می توان گفت اعداد طبیعی زیر مجموعه ی اعداد حسابی هستند.

همینطور، می توان گفت، مجموعه ی اعداد طبیعی و اعداد حسابی هر دو ، زیر مجموعه ی اعداد صحیح هستند.

هر سه مجموعه طبیعی، حسابی و صحیح، زیر مجموعه ی اعداد گویا هستند.

دلیل: اعداد گویا با نماد ریاضی نمایش داده شده اند، برای اینکه بگوییم یک عدد گویا است

باید بتوان آن عدد را بصورت کسر نوشت، به طوریکه، صورت و مخرج کسر عدد صحیح باشند و مخرج کسر صفر نباشد.

خب برای مثل اگر به یک عدد صحیح دلخواه مثل عدد 5 مخرج 1 بدهیم، در نتیجه عدد را به شکل اعداد گویا توانستیم بنویسیم.

پس هر عدد صحیح داخل اعداد گویا به صورت کسر با مخرج یک وجود دارد. در نتیجه اعداد صحیح زیر مجموعه ی اعداد گویا می باشند.

این شرایط برای اعداد طبیعی و حسابی نیز قابل بر قرار است.

ریاضی نهم فصل اول_رابطه بین مجموعه ها

ریاضی نهم فصل اول _ درس سوم: اجتماع، اشتراک و تفاضل مجموعه ها

اشتراک دو مجموعه:

اشتراک دو مجموعه، مجموعه ای می شود، که شامل تمامی عضو هایی است که داخل هر دو مجموعه وجود دارند.

یعنی مثلا اگر عدد 1 داخل هر دو مجموعه بود می گوییم عدد 1 یکی از عضو های مجموعه اشتراک است.

برای اینکه بهتر این تعریف درک شود، دو مجموعه A و B را درنظر بگیریید.

{9,7,2,4,1}  = A

{5,3,4,1}  =B

اگر دقت کنیم، اعداد 1و4 در هر دو مجموعه وجود دارند، اما بقیه عضو ها در هر دو مجموعه وجودندارند، یا مشترک نیستند.

پس اشتراک دو مجموعه A  و B مجموعه ای خواهد شد که عضو های آن اعداد 1 و 4 هستند.

اگر بخواهیم اشتراک را با علامت ریاضی نمایش دهیم باید از علامت ∩ استفاده کنیم.

برای مثال اشتراک دو مجموعه A و B به شکل زیر نوشته می شود و خوانده می شود، A اشتراک B.

       AB

اگر بخواهیم روی نمودار اشتراک را مشخص کنیم، باید تمام عضو هایی که در هر دو مجموعه وجود دارند(مشترک هستند) را درنظر بگیریم،

پس باید قسمتی که داخل منحنی هر دو نمودار قرار می گیرد، را هاشور بزنیم.

ریاضی نهم فصل اول_اشتراک

اجتماع دو مجموعه:

اجتماع دو مجموعه، مجموعه ای خواهد شد، که شامل تمامی عضو های هر دو مجموعه است.

برای درک بهتر، دو مجموعه A  و B مثال قبل را در نظر بگیرید،

تمام عضو های A و تمام عضو های B را اگر داخل یک مجموعه قرار دهیم،

مجموعه حاصل اجتماع دو مجموعه است.

برای نمایش اجتماع از علامت  استفاده می کنیم، در نتیجه عبارت زیر خوانده می شود A  اجتماع B .

{1,4,3,2,5,7,9}=AB

همانطور که مشاهده می نمایید، عضو های تکراری(مشترک) فقط یک بار نوشته شده اند.

(عضو های تکراری باید از مجموعه حذف شوند.)

برای نمایش اجتماع دو مجموعه بر روی نمودار، باید تمام مجموعه A  و تمام مجموعه B را هاشور بزنیم.

ریاضی نهم فصل اول_اجتماع

تفاضل دو مجموعه:

تفاضل در مجموعه ها چطور تعریف می شود؟

اگر بخواهیم حاصل A-B  را حساب کنیم.( A منهای B)

حاصل یک مجموعه می شود که شامل عضو هایی است که در مجموعه A وجود دارند، بجز عضو هایی که در مجموعه B هم قرار دارند.

یعنی عضو هایی که مشترک هستند را باید حذف کنیم.

تعریف تفاضل با استفاده از نماد های ریاضی

A-B = { x| x  A , x  B }

خب اگر بخواهیم بر روی نمودار تفاضل رو نمایش دهیم، باید تمام مجموعه A  بجز قسمتی که با مجموعه B مشترک می شود را هاشور بزنیم.

قسمت سبز رنگ تفاضل را نشان می دهد.

ریاضی نهم فصل اول_تفاضل

نکته: خب اگر به نمودار تفاضل دقت کنید، تمام مجموعه A بجز قسمت اشتراک مجموعه A و B هاشور خورده است.

پس می توان نتیجه گرفت اگر دو مجموعه اشتراکی نداشته باشند. برای  A-B باید تمام مجموعه A  را هاشور زد.

پس نتیجه کلی: اگر دو مجموعه با هم اشتراکی نداشته باشند، A-B=A  چون هیچ عضوی از A  کم نمی شود.

تعداد عضو های یک مجموعه: 

خب اگر یک مجموعه دادند و تعداد عضو هارا خواستند چطور حساب کنیم؟

اول باید با نماد ریاضی تعداد عضو ها آشنا شویم.

برای نمایش تعداد عضو های مجموعه A باید به این شکل بنویسیم:

(n(A

پس برای نمایش تعداد عضو های یک مجموعه از حرف کوچک n استفاده می کنیم و نام مجموعه را داخل پرانتز قرار می دهیم.

مثال

تعداد عضو های مجموعه زیر را بدست آورید.

A = { q,1,2,3,↑}

خب عضو های داخل مجموعه A را می شماریم، 3تا عدد، یک حرف کوچک و یک فلش رو به بالا در مجموع 5 عضو دارد.

n(A) = 5

نکته: عضو های مجموعه می توانند از هر جنسی باشند. مانند مثال قبل.

ریاضی نهم فصل اول _ درس چهارم: مجموعه ها و احتمال

احتمال رخ دادن یک پیش آمد

در ابتدا با یک مثال شروع می کنیم، و در آخر مطلب را جمع بندی می کنیم.

یادگرفتیم تعداد عضو های یک مجموعه را محاسبه کنیم.

حالا می خواهیم با استفاده از مجموعه ها، احتمال رخ دادن یک پیش آمد را بدست آوریم.

برای مثال :

فرض کنید یک تاس داریم که اعداد 1تا6 بر روی آن وجود دارند. احتمال آمدن عدد 6 چقدر است؟

خب کل تعداد حالات ممکن چند تا هست؟ ما شش عدد روی تاس داریم پس تعداد کل حالات برابر 6 می شود.

چند حالت مورد نظر ما است؟ 1 حالت که عدد شش ظاهر شود. پس تعداد حالات مطلوب برابر 1 می شود.

پس احتمال رو شدن عدد 6 در یک تاس برابر می شود با 6÷1.

اگر بخواهیم فرمول کلی برای حل مسئله بنویسیم:

پیش آمد مورد نظر را با A نمایش می دهیم و احتمال پیش آمد را با (P(A

مجموعه تمام حالات ممکن را با S نمایش می دهیم. و (n(S  تعداد عضو های آن می شود.

تعداد عضو های مجموعه تمام حالات مطلوب را با (n(A نمایش می دهیم.

برای محاسبه احتمال پیش آمد  (P(A از رابطه زیر استفاده می کنیم.

ریاضی نهم فصل اول_احتمال

لینک های دانلود و مطالب مرتبط

خرید فایل کامل درسنامه در قالب (16صفحه) PDF

 

۱,۹۰۰تومانافزودن به سبد خرید

خرید فایل حل تمرین فصل اول در قالب (48صفحه) PDF

 

۴,۵۰۰تومانافزودن به سبد خرید

توسط |۱۳۹۷/۸/۱۰ ۱۰:۱۷:۲۱شهریور ۲۲ام, ۱۳۹۷|درسنامه ریاضی نهم|برچسب ها: |بدون ديدگاه

در باره نویسنده :

ثبت ديدگاه

یک × 1 =